게임 수학 15장 : 오일러 공식(허수로 표현하는 회전 변환)

이 장에서 소개할 오일러 공식은 현실에서 복소수를 실수와 허수의 단순한 결합으로 보는 것을 넘어서 삼각함수와 자연지수함수 간의 수학적 관계를 우리에게 수학적으로 보여준다.

이런 오일러 공식은 전기공학의 신호 처리 분야에서 기초가 되는 아주 중요한 공식이며, 3차원 공간에서의 회전의 짐벌락과 같은 문제를 해결하는데 중요한 역할을 수행해주는 유용한 공식이라고 설명하고 있다.

오일러 공식

오일러 공식을 제대로 이해하려면, 다음 두 가지에 대한 수학적 기초가 필요하다

1. 자연지수함수 e^x
2. 삼각함수인 sin⁡함수와 cos⁡함수, 그리고 이들의 미분 특성

   

    
   

무리수 e

무리수 e(Exponential)은 은행 복리 이자로 얻을 수 있는 수익을 연구하다가 특정 상수로 수렴한다는 사실을 알아내면서 사용하게 되었다.

x의 값이 커질 수록 y의 값 또한 커지지만 그 크기가 약 2.718...으로 수렴한다는 사실이다. 이 수를 무리수 e라고 부르기로 약속하였다.

이러한 e라는 상수는 극한과 무한 개념을 사용해 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.

자연지수함수

자연지수함수는 무리수 e를 밑으로 사용하는 거듭제곱 수를 의미한다.

자연지수함수는 다음과 같은 특징을 갖는다:

• 지수 x가 0이면 항상 f(x) = e^0 = 1이다.
• 정의역 전체에서 항상 양수이며, x가 증가하면 지수적으로 증가하고, 감소하면 0에 수렴한다.
• 도함수(미분한 값)가 자기 자신과 같다 ((e^x)' = e^x)

미분

미분이란 어떤 함수에서 특정 지점의 접선의 기울기(순간 변화율)을 측정하는 연산이다.

할선과 접선

할선은 함수에서 두 점을 구했을 때, 두 점을 이어주는 직선이다.

접선은 할선에서 출발해, 두 점 사이의 간격을 점점 줄여 거의 같은 점이 되었을 때 도달하는 개념이다. 즉, 두 점 사이의 거리가 0에 가까워지면서 결국 한 점에서의 순간적인 기울기를 가지는 직선이 접선이다.

 

파란색 = 할선, 노란색 = 접선

여기서 a는 미분 계수라고 부른다.

도함수 f'(x) = n * x^(n-1)

미분 계수는 특정한 값에 대한 접선의 기울기를 의미했다. 그런데 만약 함수가 모든 구간에서 미분이 가능하다고 한다면, 임의의 수에 대해 미분 계수를 항상 구할 수 있을 것이고, 이에 대한 수식이 만들어 질 것인데 이것을 도함수라고 부른다.

극한의 성질

여러가지 도함수들

자연지수함수의 도함수

삼각함수의 도함수

전개식은 삼각함수의 덧셈 정리를 활용하여 증명해보면 된다.

등차수열과 등비 수열

수열은 일정한 규칙에 따라 순서대로 수를 나열한 것을 말한다.

일정한 차(간격)을 가지고 있다면 등차수열이라고 부르고, 

일정한 비례 관계를 가지고 있다면 등비수열이라고 부른다.

그리고 이런 수열의 규칙성을 찾는 것을 점화식이라고 부른다. 

급수

급수는 어떤 수열이 주어졌을 때 모든 항들을 차례로 더한 것을 의미한다. 기호로는 시그마(∑)를 사용한다.

등비수열의 급수는 다음과 같이 표현되며, 특별히 기하급수라고 부른다.

이러한 등비급수는 무한대로 증가하거나, 특정 수로 수렴하는 성질이 있다.

또 특이한 점은 기하급수는 공비의 크기에 따라 극한 값을 구할 수 있는지, 어떤 값으로 수렴하는지, 또는 무한히 증가하는지 여부가 결정된다. 

우선 등비수열의 합 공식은 다음과 같다.

• 만약 공비 r = 1이라면, 분모가 0이 되기 때문에 극한 값을 구할 수 없다.
• 만약 공비 -1 < r < 1이라면, 분모와 분자 모두 항상 1보다 작은 값을 가지게 되므로 극한값은 0으로 수렴하게 된다.
• 먄약 공비 r > 1 || r < -1이라면, 극한 값은 계속 크기가 커져 발산하게 된다.
• 마지막으로 공비 r = -1인 경우라면,  극한 값이-1과 1 사이를 오고가는 값을 가지게 되어 발산하게 된다. 

멱급수

멱급수는 등비급수에서 더해지는 각 항의 계수 a가 다른 것을 의미한다.

기하급수도 멱급수의 한 종류에 해당하기 때문에 멱급수 또한 특정 조건에 따라 수렴하거나 발산하는 경우를 볼 수 있는데 이것을 판정하기 위한 방법이 비판정법(Ratio Test)이다.

비판정법

비판정법은 멱급수의 항의 계수가 일정한 규칙으로 전개되는 경우 극한값을 구해 수렴 또는 발산 여부를 파악하는 방법이다.

• L< 1 = 언제나 수렴한다.
• L = 1이면 수렴하거나 발산한다.
• L > 1 항상 발산한다.

멱급수가 수렴하기 위해 r이 가져야 할 범위 구간을 수렴 구간이라고 부르며 범위의 절반인 1의 값을 수렴반지름이라 부른다.

매클로린 급수

어떤 함수 f(x)f(x)f(x)가 무한히 미분 가능하다면, 그 함수는 멱급수 형태로 근사할 수 있는데 이 함수의 기하급수를 매클로린 급수 또는 테일러 급수라고 부른다.

우선 멱급수의 도함수를 거듭 제곱 함수의 미분을 사용해 표현한다면 다음과 같이 전개될 것이다.

이제 n차 미분한 모든 도함수의 정의역에 0을 대입한다면 다음과 같이 멱급수를 구성하는 각 항의 계수 값a(n)과 일정한 규칙을 가지는 상수만 남을 것이다.

여기서 어떤 자연수보다 작은 모든 자연수의 곱을 계승이라 부르며 팩토리얼 기호(!)를 사용해서 축약해 표현한다.

여기서 n번째 계수 a(n)은 멱급수의 n번째 계수 a(n)은 n번째 미분한 도함수에 0을 대입한 형태로 일반화 할 수 있으므로, 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다.

자연지수함수와 sin, cos함수 모두 비판정을 진행 할 경우 0으로 수렴하기 때문에 매클로린 급수가 유효하다는 것을 알 수 있다.

+@ 매클로린 급수의 활용

컴퓨터의 복잡한 함수의 근사값을 구할 때 유용하게 사용할 수 있다고 한다.

급수에 항을 하나 씩 추가할 수록 새 급수의 계산 결과가 점점 목표 함수와 값이 가까워 진다. 

오일러 공식

"14장에서 본거같은데?" 

맞다 단위복소수다. 그리고 단위 복소수는 단위 원 위에 있는 점들이며, 회전이 얼마가 돌아갔던지 상관 없이 자연지수함수의 결과의 절댓값이 항상 1이 된다는 것을 말해준다.

그리고 이것은 다시 말해서 단위복소수를 통한 회전 변환이 아핀 구조(비율, 방향, 거리)를 보존한다는 것을 말한다.

오일러 공식을 이정도로 정리하는게 맞는가 싶긴한데, 어쩌겟나 그냥 삼각함수 비율이 직관적으로 보이는데;;

이제 2장 남았다. 슬슬 끝이 보이는것 같다. 우리 게임수학 스터디 그룹원들 모두 화이팅!

모든 예제 코드의 소스파일은

GitHub - onlybooks/gamemath: <이득우의 게임 수학> 공식 깃허브 페이지

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또한 제 개인 깃허브 레포지토리 에 있습니다.

Workspace/C++/GameMath at main · cyphen156/Workspace · GitHub

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※ 이득우 교수님의 인프런 게임수학강의를 참고하여 작성되었습니다.