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Chapter2 연습 문제 본문

수학/이산수학

Chapter2 연습 문제

cyphen156 2022. 8. 27. 02:48

개인 문제풀이임으로 오답이 있을 수 있습니다.

옳은 것은 파란색, 옳지 않은 것은 빨간색입니다.

  1. 진위 문제
    1. O
    2. X 진리값이 참인지 거짓인지 판단할 수 없으므로 명제가 아니다.
    3. O
    4. X 배타적 논리합은 p와  q 두 명제의 진리값이 서로 다를 때 T이다.
    5. O
    6. X 조건의 거짓은 p의 진리값이 T, q의 진리값이 F일 때 F이다.
    7. O
    8. X 유효 추론이다.
    9. O
    10. X 조건 논리에서 p의 진리값이 F이면 q의 진리값에 상관없이 T이다. 
    11. O
    12. X 모순 명제이다.
    13. O
    14. O
    15. O
    16. X 모든 x에 대해 명제가 성립해야 한다.
    17. X '모든 학생은 공부한다'의 부정은 '공부하지 않는 학생이 존재한다'이다.
    18. O
  2. 선택 문제
    1. 다음 문장 중에서 명제가 아닌 것은?
      2) 과제물을 빨리 제출하시오.

    2. 'p이면 q이다'라는 명제와 다른 진리값을 가지는 경우는?
      3) 'p와 q는 쌍방 조건이다.'

    3. 다음 중에서 거짓인 명제는 어느 것인가?
      3) √2 > 2

    4. 다음 중 p와 q가 모두 F일 때에도 그 결과가 T가 되는 연산의 경우는?
      2) 조건

    5. 단순 명제들의 참, 거짓에 관계없이 항상 참인 복합 명제는?
      2) 항진 명제
    6. 다음 중 항진 명제가 아닌 기호 논리는?
      4) (p V q) → p 
      ⇒ [(p V q)의 진리값 = TTTF] → [p의 진리값 = TTFF]
      ⇒ TTFT 
      ⇒ F가 존재하므로 항진 명제가 아니다.

    7. 다음 중에서 항진 명제가 아닌 것은?
      1) (p → q) ∧ ~q → p
      ⇒ TFTT ∧ FTFT → TTFF
      ⇒ FFFT → TTFF
      ⇒       TTTF
    8. 'p → ~q'가 참이라고 할 떄 다음 중 반드시 참인 것은?
      1) q → ~p (대우 관계)

    9. 다음 중 논리 연산자에 속하지 않는 것은?
      1) 조건부 부정

    10. 명제 p, q에 대한 합성 명제 ~p ∧ q에 대한 결과로 옳은 것은?
      p : 7 X 3 = 22               q : 4 = -3
      2) 거짓
      ⇒ ~(F) and (F)
      ⇒ T and F
      ⇒ ∴ F

    11. '여름에는 날씨가 덥고 눈이 오지 않는다'란 명제를 제대로 표현한 것은?
      p : 여름에는 날씨가 덥다.     q : 눈이 온다.
      2) p and ~q
      ⇒ p ∧ ~q

    12. p를 '그는 키가 크다', q를 '그는 멋있다'라고 할 때 '그는 크거나 또는 작고 멋있다'를 기호 논리로 바르게 표현한 것은?
      4) p or (~p and q)
      ⇒ p ∨ (~p ∧ q)

    13. 임의의 두 명제 p, q에 대한 설명 중에서 틀린 것은?
      1) p → q와 그의 역인 q → p는 동치이다.
      ⇒ ~q → ~p가 동치이다.

    14. 추론의 주요 3가지 법칙에 속하지 않는 것은?
      1) 분배 법칙
      ⇒ 분배 법칙은 논리적 동치 관계의 법칙이다.

    15. 다음 중 정당하지 않은 추론은 어느 것인가?
      3) p → ~q, q → r ├ ~r
      ⇒ 진리값이 T인 경우와 F인경우 모두 있으므로 허위 추론이다.
      p q ~q r ~r p → ~q q → r
      T T F T F F T
      T T F F T F F
      T F T T F T T
      T F T F T T T
      F T F T F T T
      F T F F T T F
      F F T T F T T
      F F T F T T T
    16. 다음과 같이 명제 p, q가 있다고 할 때 ~p ↔ q를 문장으로 표현한 것 중 옳은 것은?
      p : 나는 학원에 간다.      q : 나는 공부를 한다.
      3) 나는 학원에 가지 않으면 공부를 하고, 공부를 하면 학원에 가지 않는다.

    17. 다음 중 논리의 응용과 관계가 가장 적은 것은?
      4) 그래프의 활용

    18. 다음 중 Prolog 언어의 주요 구성 요소가 아닌 것은?
      2) 유추

    19. 논리와 명제는 규칙을 기반으로 하는 인공지능 연구에 있어서 매우 중요한 기반지식이라 한다. 다음 중 논리와 명제를 다루는 인공지능과 관련이 가장 적은 것은?
      4) Python

  3. 주관식 문제
    1. 다음 문장 중에서 명제인 문장을 구별하고, 명제일 경우 그 명제의 참 또는 거짓을 판별하시오.
      1.  x + y = 5
        명제가 아니다.
      2. 사과는 과일에 속한다.
        O
      3. 물은 수소와 탄소로 되어 있다.
        X 물의 화학식은 H₂O로 2개의 수소 원자와 1개의 산소 원자가 결합되어 있다.
      4. x가 음의 정수일 때 │x│ > x이다.
        O
    2. p를 '그는 키가 크다', q를 '그는 멋있다.'라고 할 때 명제를 p와 q를 사용한 기호 형태로 나타내시오.
      1. 그는 키가 크고 멋있다.
        p and q
      2. 그는 키가 크나 멋있지 않다.
        p and ~q
      3. 그는 크지도 멋있지도 않다.
        ~p and ~q
    3. p, q, r이 다음과 같은 명제일 때 다음 합성 명제를 서술하시오.
      p : 지구는 둥글다.
      q : 지구는 태양의 주위를 공전한다
      r : 달은 지구의 주위를 공전한다.
      1. p ∧ q
        지구는 둥글고 태양의 주위를 공전한다.
      2. ~(p ∨ q) ∧ r
        지구는 둥글거나 태양의 주위를 공전하지 않고, 달은 지구의 주위를 공전한다.
      3. (p → q) → r
        지구가 둥글면 태양의 주위를 공전하고, 그러면 달은 지구의 주위를 공전한다.
    4. ~(p ∨ q)의 진리표를 만드시오.
      p q p ∨ q ~(p ∨ q)
      T T T F
      T F T F
      F T T F
      F F F T
    5. 다음 드 모르간의 법칙을 진리표를 만들어 입증하시오.
      1. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
      2. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
        p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ∨ ~q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q
        T T F F T F F T F F
        T F F T F T T T F F
        F T T F F T T T F F
        F F T T F T T F T T
    6. ~p ∧ q의 진리표를 만드시오.
      p q ~p ~p ∧ q
      T T F F
      T F F F
      F T T T
      F F T F
    7. 진리표를 이용하여 다음의 합성 명제 중 항진 명제인 것을 찾아내시오.
      1. p → (q → p)
      2. p → (~p → q)
      3. (p ∨ q) → (p ∧ q)
        p q ~p ~q q → p p → (q → p) ~p → q p → 
        (~p → q)        		 p ∨ q p ∧ q (p ∨ q) → 
        (p ∧ q)
        T T F F T T T T T T T
        T F F T T T T T T F F
        F T T F F T T T T F F
        F F T T T T F T F F T
        ∴ 1), 2)은 항진 명제이다.
    8. 진리표를 이용하여 다음 명제들이 모순 명제가 됨을 밝히시오.
      1. ~(p ∨ ~p)
      2. (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q)
        p q ~p p ∨ ~p ~(p ∨ ~p) p ∧ q p ∨ q ~(p ∨ q) (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q)
        T T F T F T T F F
        T F F T F F T F F
        F T T T F F T F F
        F F T T F F F T F
    9. 다음 식을 간소화하시오.
      1. ~(~p ∧ ~q)
        ⇒ ~(~p) ∨ ~(~q)
        ⇒ p ∨ q
      2. ~(p → ~q)
        ⇒ ~(~p ∨ ~q)
        ⇒ ~(~p) ∧ ~(~q)
        ⇒ p ∧ q
    10. 다음 추론이 유효 추론인지 허위 추론인지를 결정하시오.
      1. ~p→ q, q ├ ~p
        ⇒ F인 경우가 존재하므로 허위 추론이다.
      2. ~p → q, p ├ ~q
        ⇒ F인 경우가 존재하므로 허위 추론이다.
        p q ~p ~q ~p → q
        T T F F T
        T F F T T
        F T T F T
        F F T T F
    11. 다음 명제의 동치 관계를 보이시오.
      ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
      ⇒ ~(~p ∨ q)
      ⇒ p ∧ ~q

    12. 진리표를 이용하여 다음의 동치가 성립함을 증명하시오.
      p ∨ (p ∧ q) ≡ p
      p q p ∧ q p ∨ (p ∧ q)
      T T T T
      T F F T
      F T F F
      F F F F
    13. 1) p ∨ q를 ∧와 ~를 사용하여 나타내시오.
      ⇒ ~(~p ∧ ~q)
      2) p ∧ q를 ∨와 ~를 사용하여 나타내시오.
      ⇒ ~(~p ∨ ~q)

    14. p(x)를 │x│> 3 이라고 할 때 다음의 진리값을 구하시오.
      1. p(o)
        ∴ X
      2. p(-4)
        ∴ O
    15. p(x, y)를 'x-y=y-x'라고 할 때 다음의 진리값을 구하시오.
      1. p(0, 0)
        ∴ T
      2. p(2, 0)
        ∴ F
      3. p(3, 3)
        ∴ T
    16. 다음 문장을 술어 한정자를 사용하여 기호로 표현하시오.
      1. 모든 x에 대하여 x < x + 1이다.
        ⇒ p(x) : x < x + 1일 때, ∀x P(x)
      2. x² - 12x + 35 = 0을 만족시키는 정수 x가 있다.
        ⇒ p(x) : x² - 12x + 35 = 0일 때, ∃x P(x)
      3. 모든 국가들이 올림픽에서 메달을 따는 것은 아니다.
        ⇒ 'x =  국가들, p(x) : 올림픽에서메달은딴다'라고 할 때, ~(∀x P(x))
    17. x는 '전산학과 학생들'이고 p(x)는 '이산수학을 수강한다'이며 q(x)는 'C언어를 수강한다'이다. 이때 다음의 술어 한정자에 대하여 문장으로 서술하시오.
      1. ∀x (p(x) ∧ q(x))
        ⇒ 모든 전산과 학생들은 이산수학을 수강하고 C언어를 수강한다.
      2. ∃x (p(x) ∨ ~q(x))
        ⇒ 전산과 학생들중 이산수학을 수강하거나 C언어를 수강하지 않는 학생이 존재한다.
    18. x는 '인간은'이고, p(x)는 'x는 생각한다'이며 q(x)는 'x는 동물이다'로 각각 나타낼 때 다음 문장들을 논리적 기호로 표현하시오.
      1. 생각하는 인간이 존재한다.
        ⇒ ∃x p(x)
      2. 모든 인간은 생각하는 동물이다.
        ⇒ ∀x (p(x) and q(x))
      3. 생각하지 않는 인간도 있다.
        ⇒ ∃x (~p(x))
    19. 논리 연산자 ⊼를 부정곱(NAND) 연산자라 하고, 그에 대한 진리표는 다음과 같다.
      (NAND는 AND연산의 부정형이다. = [~AND])
      p q p ⊼ q
      T T F
      T F T
      F T T
      F F T
      1. p ⊼ p와 ~p가 논리적 동치임을 보이시오.
        p ~P p ⊼ p
        T F F
        T F F
        F T T
        F T T
      2. (p ⊼ p) ⊼ (q ⊼  q)와 p ∨ q가 논리적 동치임을 보이시오.
        p q p ⊼ p q ⊼  q (p ⊼ p) ⊼ (q ⊼  q) p ∨ q
        T T F F T T
        T F F T T T
        F T T F T T
        F F T T F F
      3. p ∧ q를 ⊼ 만을 사용하여 나타내시오.
        ⇒ p ⊼ q ⊼ p ⊼ q
    20. 다음 합성 명제에 대한 진리표를 작성하시오.
      1. (p → q) ↔ (q → r)
        p q r (p → q) (q → r) (p → q) ↔ (q → r)
        T T T T T T
        T T F T F F
        T F T F T F
        T F F F T F
        F T T T T T
        F T F T F F
        F F T T T T
        F F F T T T
      2. (p ⊕ q) → (~q → ~p)
        p q ~p ~q (p ⊕ q) (~q → ~p) (p ⊕ q) → (~q → ~p)
        T T F F F T T
        T F F T T F F
        F T T F T T T
        F F T T F T T
    21. 다음 추론이 유효 추론인지 허위 추론인지를 결정하시오.
      1. p → ~q, ~r → q ├ p → ~r 
        ∴ 허위추론
        p q r ~q ~r p → ~q ~r → q p → ~r
        T T T F F F T F
        T T F F T F T T
        T F T T F T T F
        T F F T T T F T
        F T T F F T T T
        F T F F T T T T
        F F T T F T T T
        F F F T T T F T
      2. p → q, ~r → ~q ├ ~p → r
        ∴ 허위추론
        p q r p → q ~r → ~q ~p → r
        T T T T T T
        T T F T F T
        T F T F T T
        T F F F T T
        F T T T T F
        F T F T F T
        F F T T T F
        F F F T T T
    22. 다음의 명제를 간단한 식으로 나타내시오.
      ((p → q) ∨ (p → r)) → (q ∨ r)
      ⇒ (p → (q ∨ r)) → (q ∨ r)
      ⇒ (~p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ r)
      ⇒ ~(~p ∨ (q ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
      ⇒ (p ∧ ~(q ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
      ⇒ (p ∧ (q ∧ r)) ∨ (q ∨ r)
      ⇒ (p ∧ q) ∨ (q ∨ r)
      ⇒ p ∨ (q ∨ r)
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