Chapter2 예제

1. 다음의 문장이나 식에서 명제를 찾아보고, 명제인 경우 그것의 진리값을 판별해보자
   
   1. 바나나는 맛있다. ← 참/거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.
   2. 3x + 5y = 7 ← 참/거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다. 
   3. 28은 4의 배수이다. ← 참(T)
   4. 지금 어디로 가는 중입니까? ←  참/거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.
2. 이 명제들의 참 거짓을 판별해보자
   
   1. 6 < 4 ← 거짓(F)
   2. 유채꽃은 노란색이다. ← 참(T)
   3. 3 X 7의 값은 홀수이다. ← 참(T)
      
   4. 공기는 H₂O로 표현된다. ← 거짓(F)
3. 다음 합성 명제들을 부분 명제로 나누어라
   1. '오늘은 날씨가 맑거나 비가 내린다. → 오늘은 날씨가 맑다, 오늘은 비가 내린다.
   2. '장미꽃은 빨갛고 개나리꽃은 노랗다' → 장미 꽃은 빨갛다, 개나리꽃은 노랗다
4. ~(~𝒑)가 𝒑와 같음을 진리표를 통해 증명하시오
   
   

   𝒑	~𝒑	~(~𝒑)
   T	F	T
   F	T	F

5. 다음 합성 명제를 단순 명제로 구분한 후 진리값을 구한 뒤 진리표를 이용하여 합성 명제의 논리곱으로 이루어진 합성 명제의 진리값을 구하라.
   논리곱 진리표
   

   𝒑	𝒒	𝒑 ∧ 𝒒
   T	T	T
   T	F	F
   F	T	F
   F	F	F

   1.  서울은 대한민국의 수도이고, 런던은 영국의 수도이다.
      1) 서울은 대한민국의 수도이다(T) and 런던은 영국의 수도이다.(T)
      2) T and T이므로 진리값은 T
   2. 3 > 2이고, 3 X 2 = 5이다.
      1) 3 > 2(T) and 3 X 2 = 5(F)
      2) T and F이므로 진리값은 F
   3. 사과는 과일이고, 시금치는 채소이다.
      1) 사과는 과일이다(T) and 시금치는 채소이다.(T)
      2) T and T이므로 진리값은 T
6. 다음 합성 명제를 단순 명제로 구분한 후 진리값을 구한 뒤 진리표를 이용하여 합성 명제의 논리합으로 이루어진 합성 명제의 진리값을 구하라.
   논리합 진리표
   

   𝒑	𝒒	𝒑 ∨ 𝒒
   T	T	T
   T	F	T
   F	T	T
   F	F	F

   1.  서울은 대한민국의 수도이거나, 런던은 영국의 수도이다.
      1) 서울은 대한민국의 수도이다(T) or 런던은 영국의 수도이다.(T)
      2) T or T이므로 진리값은 T
   2. 3 > 2이거나, 3 X 2 = 5이다.
      1) 3 > 2(T) or 3 X 2 = 5(F)
      2) T or F이므로 진리값은 T
   3. 사과는 과일이거나, 시금치는 채소이다.
      1) 사과는 과일이다(T) or 시금치는 채소이다.(T)
      2) T or T이므로 진리값은 T
7. 다음의 명제에 대하여 함축의 진리값을 구하라.
   함축 진리표
   

   𝒑	𝒒	𝒑 → 𝒒
   T	T	T
   T	F	F
   F	T	T
   F	F	T

   1.  바다가 육지라면, 런던은 영국의 수도이다
      1) 바다는 육지이다(F) → 런던은 영국의 수도이다.(T)
      2) F → T이므로 진리값은 T
   2. 3 + 4 > 5이면, 3 > 5이다.
      1) 3 + 4 > 5(T) → 3 > 5(F)
      2) T → F이므로 진리값은 F
   3. 유채꽃이 빨갛다면, 바다가 육지이다.
      1) 유채꽃이 빨갛다(F) → 바다가 육지이다.(F)
      2) F → F이므로 진리값은 T
8. ~(𝒑 ∧ ~𝒒)의 진리값을 구하라.

   𝒑	𝒒	~ 𝒒	𝒑 ∧ ~𝒒	~(𝒑 ∧ ~𝒒)
   T	T	F	F	T
   T	F	T	T	F
   F	T	F	F	T
   F	F	T	F	T

9. 𝒑 ∨ (𝒒∧r)의 진리값을 구하라.

   𝒑	𝒒	r	𝒒 ∧ r	𝒑 ∨ (𝒒 ∧ r)
   T	T	T	T	T
   T	T	F	F	T
   T	F	T	F	T
   T	F	F	F	T
   F	T	T	T	T
   F	T	F	F	F
   F	F	T	F	F
   F	F	F	F	F

10. 𝒑 = '날씨가 춥다'와 𝒒 = '비가 온다'를 다음 문장으로 표현하라.
    1. ~𝒑 → 날씨가 춥지 않다.
       
    2. 𝒑 ∧ 𝒒 → 날씨가 춥고 비가 온다.
    3. 𝒑 ∨ 𝒒 → 날씨가 춥거나 비가 온다.
    4. 𝒑 ∨ ~𝒒 → 날씨가 춥거나 비가 오지 않는다.
11. 합성 명제를 단순 명제들로 구분하고, 진리값을 구하라.
    1. 4+3 = 7이고, 4 X 7 = 9이다.
       1) 4+3 = 7(T)이다 and 4 X 7 = 9(F)
       2) T and F이므로 F
    2. 유채꽃이 노랗다면, 수요일 전날은 토요일이다.
       1) 유채꽃이 노랗다(T) → 수요일 전날은 토요일이다.(F)
       2) T → F 이므로 F
12. 명제 𝒑 → 𝒒 '날씨가 맑아지면 소풍을 간다'의 역, 이, 대우를 구하라.
    1. 역 → 소풍을 가면 날씨가 맑아진다.
    2. 이→ 날씨가 맑아지지 않으면 소풍을 가지 않는다.
    3. 대우 → 소풍을 가지 않으면 날씨가 맑아지지 않는다.
13. 𝒑 ∨ (~𝒑)는 항진명제이고, 𝒑 ∧ (~𝒑)는 모순 명제임을 보여라
    

    𝒑	~𝒑	𝒑 ∨ (~𝒑)	𝒑 ∧ (~𝒑)
    T	F	T	F
    F	T	T	F

14. (𝒑 ∧ 𝒒) ∧ ~(𝒑 ∨ 𝒒)가 모순명제임을 보여라
    

    𝒑	𝒒	𝒑 ∧ 𝒒	𝒑 ∨ 𝒒	~(𝒑 ∨ 𝒒)	(𝒑 ∧ 𝒒) ∧ ~(𝒑 ∨ 𝒒)
    T	T	T	T	F	F
    T	F	F	T	F	F
    F	T	F	T	F	F
    F	F	F	F	T	F

15. 𝒑 → 𝒒 ≡ ~𝒑 ∨ 𝒒가 동치임을 확인하라.

    𝒑	𝒒	~𝒑	𝒑 → 𝒒	~𝒑 ∨ 𝒒
    T	T	F	T	T
    T	F	F	F	F
    F	T	T	T	T
    F	F	T	T	T

16. ~(𝒑 ∨ 𝒒)와 (~𝒑) ∧ (~𝒒)이논리적 동치임을 확인하라
    

    𝒑	𝒒	𝒑 ∨ 𝒒	~(𝒑 ∨ 𝒒)	~𝒑	~𝒒	(~𝒑) ∧ (~𝒒)
    T	T	T	F	F	F	F
    T	F	T	F	F	T	F
    F	T	T	F	T	F	F
    F	F	F	T	T	T	T

17. 드 모르간 법칙으로 간단히 하여라.
    1. ~(𝒑 ∧ ~𝒒)
       ⟹ ~𝒑 ∨ ~(~𝒒)
       ⟹ ~𝒑 ∨ 𝒒
    2. ~(~𝒑 ∧ ~𝒒)
       ⟹ ~(~𝒑) ∨ ~(~𝒒)
       ⟹ 𝒑 ∨ 𝒒
    3. ~(~𝒑 ∨ 𝒒)
       ⟹ ~(~𝒑) ∧ ~𝒒
       ⟹ 𝒑 ∧ ~𝒒
18. ~(~𝒑 ∧ 𝒒) ∧ (𝒑 ∨ 𝒒) ≡ 𝒑임을 증명하라.
    ⟹ (~(~𝒑) ∨ ~𝒒) ∧ (𝒑 ∨ 𝒒)
    ⟹ (𝒑 ∨~ 𝒒) ∧ (𝒑 ∨ 𝒒)
    ⟹ 𝒑 ∨ (~𝒒 ∧ 𝒒)
    ⟹ 𝒑 ∨ F
    ⟹ 𝒑
    
    
19. 쌍방조건 𝒑 ↔ 𝒒의 진리값과 (𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑)가 동치임을 진리표를 이용해 보여라.
    

    𝒑	𝒒	𝒑 ↔ 𝒒	𝒑 → 𝒒	𝒒 → 𝒑	(𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑)
    T	T	T	T	T	T
    T	F	F	F	T	F
    F	T	F	T	F	F
    F	F	T	T	T	T

20. 𝒑 → 𝒒,  𝒑├ 𝒒를 설명하라
    𝒑 : 오늘은 비가 온다, 𝒒 : 나는 공부를 한다
    𝒑 → 𝒒 : 오늘 비가 오면 나는 공부를 한다
    𝒑 → 𝒒 , 𝒑├ 𝒒 : 오늘 비가 오면 나는 공부를 한다, 오늘은 비가 온다 그러므로/따라서 나는 공부를 한다
    
    
21. 𝒑 → 𝒒, 𝒒 ├ 𝒑 추론의 진리표를 만들어 유효추론과 허위 추론을 결정해 보아라.
    

    𝒑	𝒒	𝒑 → 𝒒
    T	T	T
    T	F	F
    F	T	T
    F	F	T

    𝒑→ 𝒒, 𝒒가 모두 참인것은 첫째 행과 셋째 행이 있는데  이 중 𝒑의 진리값이 참이 되는 경우는 1가지이므로 허위 추론이다.
    
    
22. 𝒑, 𝒑 → 𝒒 ├ 𝒒의 진리표를 이용해 유효추론임을 보여라.
    

    𝒑	𝒒	𝒑 → 𝒒
    T	T	T
    T	F	F
    F	T	T
    F	F	T

    𝒑, 𝒑 → 𝒒가 모두 참인 경우는 한가지인데 𝒒의 진리값도 참이므로 유효추론이다.
    
23. 𝒑 → 𝒒, 𝒒 → r ├ 𝒑 → r
    

    𝒑	𝒒	r	𝒑 → 𝒒	𝒒 → r	𝒑 → r
    T	T	T	T	T	T
    T	T	F	T	F	T
    T	F	T	F	T	F
    T	F	F	F	T	F
    F	T	T	T	T	T
    F	T	F	T	F	T
    F	F	T	T	T	T
    F	F	F	T	T	T

    𝒑 → 𝒒, 𝒒 →r가 참인 경우 4가지 중 𝒑 →r이 참인 경우 또한 4가지 이므로 유효추론이다.
    
    
24. 'x는 3보다 크다'가 술어임을 보여라.
    P(x) = x > 3이므로 x >= 4이면 참이 되므로 술어이다.
    
    
25. p(x) = 'x**+1 > 0'일 때 거짓이 되는 진리값을 구하라.
    x가 실수일 경우 어떠한 값을 제곱하더라도 +1을 하게되면 0보다 크므로 진리값이 거짓인 x는 없다.
    
    
26. 다음 명제에 대해 참과 거짓을 판별하라
    1. ∀x[x < x + 1]
    2. ∀x[x = 3]
       x가 3이 아니면 거짓이므로 모든 x에 대해 명제가 성립하지 않으므로 거짓이다.
    3. ∀x[x > x - 3]
27. p(x) = (x = x**)일 때 진리값을 구하라.
    1. ∀x p(x) x < -1, x > 2일 경우 x** = x가 성립하지 않으므로 거짓이다.
    2. ∃x p(x) x = 1일 경우 x** = x가 성립하므로 참이다.
28. 술어 한정자를 상요해 다음과 같이 논리적 표기를 했을 때 명제를 서술해 보아라.
    1. ∃x p(x, y) : p(x, y)에 대해 성립하는 x가 존재한다.
    2. ~(∀x p(x)) : 모든 x에 대해 p(x)가 성립하는 것은 아니다.
    3. ∃y (∀x p(x, y)) : 모든 x에 대해 p(x, y)가 성립하는 y가 존재한다.
29. x = '학생은', p(x) = 'x는 공부한다' 다음 문장의 부정을 서술하고 논리적 기호로 표시하라.
    1. 모든 학생은 공부한다.
       ⟹ ∀x p(x)
       ⟹ 공부하지 않는 학생도 존재한다.
       ⟹ ~(∀x p(x)) ⟺ ∃x (~p(x))
    2. 공부를 하는 학생이 존재한다.
       ⟹ ∃x p(x)
       ⟹ 모든 학생은 공부하지 않는다.
       ⟹ ~(∃x p(x)) ⟺ ∀x (~p(x))